By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d’approximation est aujourd’hui l’un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de l. a. derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d’?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Un 2facteur 7 est un sous-ensemble S d’arˆetes tel que chaque sommet est incident `a exactement deux arˆetes de S. 6 (Frieze, Galbiati, and Maffioli [96]) Donnez une O(log n)-approximation pour le probl`eme suivant. 15 (TSP asym´ etrique)8 Etant G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut sur les arcs satisfaisant l’in´egalit´e triangulaire orient´ee, c’est-`a-dire telle que pour tout triplet de sommets u, v, et w, coˆ ut(u → v) coˆ ut(u → w) + coˆ ut(w → v). Le probl`eme consiste `a trouver un cycle de coˆ ut minimal qui passe par chacun des sommets exactement une fois.

L’id´ee est de r´eduire le probl`eme du cycle hamiltonien au TSP en transformant un graphe G ` a n sommets en un graphe complet G `a n sommets muni d’une fonction de poids sur les arˆetes telle que : – si G admet un cycle hamiltonien, alors le coˆ ut optimal du TSP dans G est n, et – si G n’admet pas de cycle hamiltonien, alors le coˆ ut optimal du TSP dans G est > α(n) · n. 5 Traveling salesman problem (TSP), en anglais. 3. L’arbre de Steiner et le voyageur de commerce 33 Remarquons que, sur le graphe G , l’algorithme A calcule une solution de coˆ ut α(n) · n dans le premier cas, et > α(n) · n dans le second.

On connecte qu’elle couvre. Clairement, la distance 1 de c ` alors c `a p par un chemin rectilin´eaire de longueur r exactement. D´emontrez que l’arbre obtenu est bien isochrone, puis que T (r) 9N (r), pour tout 0 r R. En d´eduire que cet algorithme est une 9-approximation. 4 Notes Le probl`eme de l’arbre de Steiner a ses origines dans un probl`eme pos´e par Fermat. Il fut formalis´e le 21 mars 1836 par Gauss dans une lettre adress´ee `a son ´etudiant Schumacher. Des extraits de cette lettre sont reproduits sur la couverture de ce livre.

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